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数学分析（下） - 多元函数积分

多元函数积分

含参量积分

含参量正常积分

定义

对于定义在区域

G={(x,y)∣c(x)≤y≤d(x),  a≤x≤b}G=\{(x,y)\mid c(x) \le y \le d(x),\; a \le x \le b\}

上的二元函数，其中 c(x), d(x)c(x),\, d(x) 为定义在 [a,b][a, b] 上的连续函数，

F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y) dy,x∈[a,b],F(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y) \, dy,\quad x \in [a, b],

称为定义在 [a,b][a, b] 上含参量 xx 的正常积分，简称含参量积分。

连续性

若二元函数 f(x,y)f(x, y) 在区域

G={(x,y)∣c(x)≤y≤d(x),  a≤x≤b}G=\{(x,y)\mid c(x) \le y \le d(x),\; a \le x \le b\}

上连续，其中 c(x), d(x)c(x),\, d(x) 为定义在 [a,b][a, b] 上的连续函数，则函数

F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y) dyF(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y) \, dy

在 [a,b][a, b] 上连续。

可微性

若 f(x,y)f(x, y) 与 fx(x,y)f_x(x, y) 在区域

R=[a,b]×[p,q]R = [a, b] \times [p, q]

上连续，且 c(x), d(x)c(x),\, d(x) 为定义在 [a,b][a, b] 上且其值含于 [p,q][p, q] 内的可微函数，则函数

F(x)=∫c(x)d(x)f(x,y) dyF(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f(x, y) \, dy

在 [a,b][a, b] 上可微，且有

F′(x)=∫c(x)d(x)fx(x,y) dy+f(x,d(x)) d′(x)−f(x,c(x)) c′(x).F'(x) = \int_{c(x)}^{d(x)} f_x(x, y) \, dy + f(x, d(x))\,d'(x) - f(x, c(x))\,c'(x).

可积性

若 f(x,y)f(x, y) 在矩形区域

R=[a,b]×[c,d]R = [a, b] \times [c, d]

上连续，则 φ(x)\varphi(x) 和 ψ(y)\psi(y) 分别在 [a,b][a, b]、[c,d][c, d] 上可积，即存在两种求积顺序不同的积分：

∫abdx∫cdf(x,y) dy,∫cddy∫abf(x,y) dx,\int_a^b dx \int_c^d f(x, y) \, dy,\quad \int_c^d dy \int_a^b f(x, y) \, dx,

且在 f(x,y)f(x, y) 连续的前提下，这两个积分相等。

含参量反常积分

定义

设函数 f(x,y)f(x,y) 在无界区域

R={(x,y)∣x∈I,  c≤y<∞}R = \{(x, y) \mid x \in I,\; c \le y < \infty\}

上，对于每一个固定的 x∈Ix \in I，反常积分

∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy

均收敛，则其值作为 xx 的函数，

Φ(x)=∫c∞f(x,y) dy,x∈I,\Phi(x) = \int_c^\infty f(x, y) \, dy,\quad x \in I,

称为定义在 II 上的含参量 xx 的无穷限反常积分，简称含参量反常积分。

一致收敛及其判别

定义

若含参量反常积分 ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 与函数 Φ(x)\Phi(x) 对于任给的正数 ϵ\epsilon，总存在某一实数 N>cN > c 使得当 M>NM > N 时，对于一切 x∈Ix \in I 都有

∣∫cMf(x,y) dy−Φ(x)∣<ϵ,\left| \int_c^M f(x,y) \, dy - \Phi(x) \right| < \epsilon,

即

∣∫M∞f(x,y) dy∣<ϵ,\left| \int_M^\infty f(x,y) \, dy \right| < \epsilon,

则称该含参量反常积分在 II 上一致收敛于 Φ(x)\Phi(x)。

内闭一致收敛

若对于任一区间 [a,b]⊂I[a, b] \subset I，含参量反常积分 ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 在 [a,b][a, b] 上一致收敛，则称其在 II 上内闭一致收敛。

一致收敛的柯西准则

含参量反常积分 ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 在 II 上一致收敛的充要条件为：对于任给的正数 ϵ\epsilon，总存在一个实数 M>cM>c 使得当 A1,A2>MA_1, A_2 > M 时，对于一切 x∈Ix \in I 都有

∣∫A2A1f(x,y) dy∣<ϵ.\left| \int_{A_2}^{A_1} f(x,y) \, dy \right| < \epsilon.
一致收敛定理 1

含参量反常积分 ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 在 II 上一致收敛的充要条件是

F(A)=sup⁡x∈I∣∫A∞f(x,y) dy∣,lim⁡A→+∞F(A)=0.F(A) = \sup_{x\in I}\left|\int_A^\infty f(x, y) \, dy\right|,\quad \lim_{A \to +\infty} F(A) = 0.
一致收敛定理 2

含参量反常积分 ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 在 II 上一致收敛的充要条件是：对于任一趋于 +∞+\infty 的递增数列 {An}\{A_n\}（A1=cA_1 = c），函数项级数

∑n=1∞∫AnAn+1f(x,y) dy=∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty}\int_{A_n}^{A_{n+1}} f(x, y) \, dy = \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)

在 II 上一致收敛。

魏尔斯特拉斯 MM 判别法

设存在函数 g(y)g(y) 使得

∣f(x,y)∣≤g(y),(x,y)∈I×[c,+∞).\big| f(x, y) \big| \le g(y),\quad (x, y) \in I\times [c, +\infty).

若 ∫c∞g(y) dy\int_c^\infty g(y) \, dy 收敛，则 ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 在 II 上一致收敛。

狄利克雷判别法

若满足：

  1. 对于一切实数 N>cN > c，含参量正常积分

    ∫cNf(x,y) dy\int_c^N f(x, y) \, dy

    对参量 xx 在 II 上一致有界，即存在正数 MM，使得对于一切 N>cN>c 及一切 x∈Ix \in I 有

    ∣∫cNf(x,y) dy∣≤M;\left| \int_c^N f(x, y) \, dy \right| \le M;

  2. 对于每一个 x∈Ix\in I，函数 g(x,y)g(x, y) 关于 yy 为单调函数，且当 y→+∞y\to +\infty 时，对参量 xx 而言 g(x,y)g(x, y) 一致收敛于 00；

则积分

∫c∞f(x,y)g(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y)g(x, y) \, dy

在 II 上一致收敛。

阿贝尔判别法

若满足：

  1. ∫c∞f(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y) \, dy 在 II 上一致收敛；

  2. 对每一个 x∈Ix\in I，函数 g(x,y)g(x, y) 关于 yy 为单调函数，且对参量 xx 而言 g(x,y)g(x,y) 在 II 上一致有界；

则积分

∫c∞f(x,y)g(x,y) dy\int_c^\infty f(x, y)g(x, y) \, dy

在 II 上一致收敛。

含参量反常积分的性质

在一定条件下，无穷积分运算可以与其他正常积分、无穷积分、极限运算、求导运算交换。

曲线积分

给定参数方程

L:{x=φ(t),y=ψ(t),t∈[α, β],L: \begin{cases} x = \varphi(t),\\[1mm] y = \psi(t), \end{cases}\quad t \in [\alpha,\,\beta],

一型曲线积分

∫Lf(x,y) ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2 dt.\int_L f(x, y) \, ds = \int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t), \psi(t)\big) \sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2} \, dt.

二型曲线积分

∫L[P(x,y) dx+Q(x,y) dy]=∫αβ[P(φ(t),ψ(t))φ′(t)+Q(φ(t),ψ(t))ψ′(t)] dt.\begin{aligned} \int_L \big[ P(x, y) \, dx + Q(x,y) \, dy \big] &= \int_\alpha^\beta \Big[ P\big(\varphi(t), \psi(t)\big)\varphi'(t) + Q\big(\varphi(t), \psi(t)\big)\psi'(t) \Big] \, dt. \end{aligned}

二重积分

直角坐标系

∬Df(x,y) dσ=∫abdx∫cdf(x,y) dy=∫cddy∫abf(x,y) dx.\iint\limits_D f(x, y)\, d\sigma = \int_a^b dx \int_c^d f(x,y)\, dy = \int_c^d dy \int_a^b f(x,y) \, dx.

格林公式

∬D(∂Q∂x−∂P∂y) dσ=∮L(P dx+Q dy).\iint\limits_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) \, d\sigma = \oint_L \big(P\, dx + Q\, dy\big).

利用格林公式还可得平面区域的面积公式：

SD=12∮L(x dy−y dx).S_D = \frac{1}{2} \oint_L \big(x\, dy - y\, dx\big).

曲线积分的路线无关性

对于单连通区域，若函数 P(x,y)P(x,y) 和 Q(x,y)Q(x, y) 在 DD 内连续，则下列条件等价：

  1. ∮L(P dx+Q dy)=0;\oint_L \big(P\,dx+Q\,dy\big)=0;
  2. ∫L(P dx+Q dy)与路径无关，仅与 L 的起点和终点有关;\int_L \big(P\,dx+Q\,dy\big) \quad \text{与路径无关，仅与 $L$ 的起点和终点有关};
  3. 在 D 内存在 u(x,y) 使得du=P dx+Q dy;在~D~内存在~u(x, y)~使得\quad du = P\,dx + Q\,dy;
  4. 在 D 内处处成立∂P∂y=∂Q∂x.在~D~内处处成立\quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.

全微分的原函数

全微分方程的原函数可以表示为

u(x,y)=∫x0xP(s,y0) ds+∫y0yQ(x,t) dt=∫x0xP(s,y) ds+∫y0yQ(x0,t) dt.\begin{aligned} u(x, y) &= \int_{x_0}^{x} P(s,y_0) \, ds + \int_{y_0}^{y} Q(x, t) \, dt\\[1mm] &= \int_{x_0}^{x} P(s,y) \, ds + \int_{y_0}^{y} Q(x_0, t) \, dt. \end{aligned}

变量变换

对于二重积分

∬Df(x,y) dA,\iint\limits_D f(x, y) \, dA,

变量替换步骤如下：

  1. 选择变换函数
    定义新的变量

    u=g(x,y),v=h(x,y),u = g (x, y),\quad v = h (x, y),

    并解出 x=x(u,v)x = x (u, v), y=y(u,v)y = y (u, v)。

  2. 计算变换的雅可比行列式

    J(u,v)=∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣.J(u,v) = \frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[1mm] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.

  3. 确定新变量 (u,v)(u, v) 对应的新区域 D′D'。

  4. 替换积分
    变换为

    ∬D′f(x(u,v),y(u,v)) ∣J(u,v)∣ du dv.\iint\limits_{D'} f\big(x(u, v), y(u, v)\big)\, \big|J(u,v)\big| \, du \, dv.

极坐标变换

设变换

T:{x=arcos⁡θ,y=brsin⁡θ,0≤r<+∞,0≤θ≤2π.T: \begin{cases} x = a r\cos\theta,\\[1mm] y = b r\sin\theta, \end{cases} \quad 0 \leq r < +\infty,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi.

则有：

∬Df(x,y) dxdy=∬D′f(arcos⁡θ, brsin⁡θ) ab r dr dθ=∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(arcos⁡θ, brsin⁡θ) ab r dr=∫r1r2ab r dr∫θ1(r)θ2(r)f(arcos⁡θ, brsin⁡θ) dθ.\begin{aligned} \iint\limits_D f(x, y) \, dxdy &= \iint\limits_{D'} f\big(a r\cos\theta,\, b r\sin\theta\big)\, a b\, r\, dr\, d\theta\\[1mm] &= \int_\alpha^\beta d\theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f\big(a r\cos\theta,\, b r\sin\theta\big)\, a b\, r\, dr\\[1mm] &= \int_{r_1}^{r_2} a b\, r\, dr \int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)} f\big(a r\cos\theta,\, b r\sin\theta\big) \, d\theta. \end{aligned}

三重积分

基本计算

∭Ef(x,y,z) dV=∫ab(∫cd(∫eff(x,y,z) dz)dy)dx.\iiint\limits_E f(x, y, z) \, dV = \int_a^b \left( \int_c^d \left( \int_e^f f(x, y, z) \, dz \right) dy \right) dx.

坐标变换

变换的雅可比行列式为

J(u,v,w)=∣∂u∂x∂u∂y∂u∂z∂v∂x∂v∂y∂v∂z∂w∂x∂w∂y∂w∂z∣.J(u,v,w) = \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\[1mm] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\[1mm] \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{vmatrix}.

柱坐标变换

令

T:{x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,z=z,0≤r<+∞,0≤θ≤2π,−∞<z<+∞.T: \begin{cases} x = r\cos\theta,\\[1mm] y = r\sin\theta,\\[1mm] z = z, \end{cases} \quad 0 \leq r < +\infty,\quad 0\leq \theta \leq 2\pi,\quad -\infty < z < +\infty.

则雅可比行列式为

J(r,θ,z)=r.J(r, \theta, z) = r.

球坐标变换

令

T:{x=rsin⁡φcos⁡θ,y=rsin⁡φsin⁡θ,z=rcos⁡φ,0≤r<+∞,0≤φ≤π,0≤θ≤2π.T: \begin{cases} x = r\sin\varphi\cos\theta,\\[1mm] y = r\sin\varphi\sin\theta,\\[1mm] z = r\cos\varphi, \end{cases} \quad 0 \leq r < +\infty,\quad 0 \leq \varphi \leq \pi,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi.

则雅可比行列式为

J(r,θ,φ)=r2sin⁡φ.J(r, \theta, \varphi) = r^2 \sin\varphi.

曲面积分

第一型曲面积分

一般计算

对于曲面 SS 表示为

z=z(x,y),(x,y)∈D,z = z(x, y),\quad (x, y) \in D,

有

∬Sf(x,y,z) dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2 dx dy.\iint\limits_S f(x, y, z) \, dS = \iint\limits_D f\big(x, y, z(x, y)\big)\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\, dx\, dy.

参量形式曲面

设曲面 SS 的参数方程为

S:{x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D.S: \begin{cases} x = x(u, v),\\[1mm] y = y(u, v),\\[1mm] z = z(u, v), \end{cases}\quad (u, v) \in D.

定义

E=xu2+yu2+zu2,F=xuxv+yuyv+zuzv,G=xv2+yv2+zv2,\begin{aligned} E &= x_u^2 + y_u^2 + z_u^2,\\[1mm] F &= x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v,\\[1mm] G &= x_v^2 + y_v^2 + z_v^2, \end{aligned}

则有

∬Sf(x,y,z) dS=∬Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2 du dv.\iint\limits_S f(x, y, z) \, dS = \iint\limits_D f\big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\big) \sqrt{E G - F^2}\, du\, dv.

注意： 要求 ∂(x,y)∂(u,v)\frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)}、∂(x,z)∂(u,v)\frac{\partial(x, z)}{\partial(u,v)}、∂(y,z)∂(u,v)\frac{\partial(y, z)}{\partial(u,v)} 至少有一个不为零。

第二型曲面积分

一般计算

对于曲面 SS 表示为

z=z(x,y),(x,y)∈D,z = z(x, y),\quad (x, y) \in D,

有

∬Sf(x,y,z) dxdy=∬Df(x,y,z(x,y)) dx dy.\iint\limits_S f(x, y, z) \, dxdy = \iint\limits_D f\big(x, y, z(x, y)\big) \, dx\, dy.

参量形式曲面

设曲面 SS 的参数方程为

S:{x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈D.S: \begin{cases} x = x(u, v),\\[1mm] y = y(u, v),\\[1mm] z = z(u, v), \end{cases}\quad (u, v) \in D.

则有

∬SP dy dz=±∬DP(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∂(y,z)∂(u,v) du dv,∬SQ dz dx=±∬DQ(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∂(z,x)∂(u,v) du dv,∬SR dx dy=±∬DR(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∂(x,y)∂(u,v) du dv.\begin{aligned} \iint\limits_S P\, dy\,dz &= \pm \iint\limits_D P\big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\big) \frac{\partial(y, z)}{\partial(u,v)}\, du\, dv,\\[1mm] \iint\limits_S Q\, dz\,dx &= \pm \iint\limits_D Q\big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\big) \frac{\partial(z, x)}{\partial(u,v)}\, du\, dv,\\[1mm] \iint\limits_S R\, dx\,dy &= \pm \iint\limits_D R\big(x(u, v), y(u, v), z(u, v)\big) \frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)}\, du\, dv. \end{aligned}

正负号由法向量（例如 (∂(x,y)∂(u,v),  ∂(x,z)∂(u,v),  ∂(y,z)∂(u,v))\big(\frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)},\; \frac{\partial(x, z)}{\partial(u,v)},\; \frac{\partial(y, z)}{\partial(u,v)}\big)）对应 SS 的内外侧决定。

注意： 要求 ∂(x,y)∂(u,v)\frac{\partial(x, y)}{\partial(u,v)}、∂(x,z)∂(u,v)\frac{\partial(x, z)}{\partial(u,v)}、∂(y,z)∂(u,v)\frac{\partial(y, z)}{\partial(u,v)} 至少有一个不为零。

高斯公式

注意：由于我的渲染引擎有问题，导致二重曲线积分无法正常渲染，此处的两个曲线积分号均为二重曲线积分号

设空间区域 VV 由封闭曲面 SS 围成，且 P, Q, RP,\, Q,\, R 在 VV 上连续，则

∭V(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z) dx dy dz=∮S(P dy dz+Q dz dx+R dx dy).\iiint\limits_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\, dx\,dy\,dz = \oint_S \big(P\, dy\,dz + Q\, dz\,dx + R\, dx\,dy\big).

常用于化简封闭曲面二重积分。

令 P=x,  Q=y,  R=zP=x,\; Q=y,\; R=z，则有封闭空间区域的体积公式：

ΔV=13∮S(x dy dz+y dz dx+z dx dy).\Delta V = \frac{1}{3} \oint\limits_S \big(x\, dy\,dz + y\, dz\,dx + z\, dx\,dy\big).

斯托克斯公式

斯托克斯公式写为

∬S[(∂R∂y−∂Q∂z)dy dz+(∂P∂z−∂R∂x)dz dx+(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy]=∮L(P dx+Q dy+R dz).\begin{aligned} &\iint\limits_S \Big[\left(\frac{\partial{R}}{\partial{y}} - \frac{\partial{Q}}{\partial{z}}\right) dy\,dz + \left(\frac{\partial{P}}{\partial{z}} - \frac{\partial{R}}{\partial{x}}\right) dz\,dx + \left(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}} - \frac{\partial{P}}{\partial{y}}\right) dx\,dy\Big]\\[1mm] =&\oint_L \big(P\,dx + Q\,dy + R\,dz\big). \end{aligned}

其中 SS 的方向以及 LL 的方向由右手定则决定。

参考文献

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