大物二的学习笔记，包含质点力学、光学、电磁、热力学、量子物理基础

质点力学

质点运动的描述

四个物理量

位矢

\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}

位移

\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1

一般情况下， $|\Delta\mathbf{r}| \ne \Delta r,~\Delta s \ge |\Delta r|$

速度

平均速度、瞬时速度、瞬时速率：

\bar{\mathbf{v}} = \frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}, \quad \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}, \quad v = |\mathbf{v}| = \frac{ds}{dt}

加速度

\bar{\mathbf{a}} = \frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t}, \quad \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}

常见问题

已知 $\mathbf{r} = \mathbf{r}(t)$ ，求质点的位置、位移、速度、加速度：求导
已知 $\mathbf{a} = \mathbf{a}(t)$ 和初始条件 $r_0, v_0$ ，求其速度和运动方程：积分

曲线运动

角坐标 $\theta$ ，角位移 $\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$

角速度

\omega = \frac{\Delta\theta}{dt}

角加速度

\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2}

线量和角量的关系

v = R\omega, \quad a_t = R\alpha, \quad a_n = \frac{v^2}{R} = R\omega^2, \quad \Delta s = R \cdot \Delta\theta

牛顿定律

第一定律

任何质点都保持静止或匀速直线运动状态，直至其他物体对它施加力的作用迫使它改变这种状态为止。

第二定律

\mathbf{F} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt} = m\mathbf{a}

第三定律

\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}

常见的力

万有引力： $F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$
弹力： $F = -kx$
摩擦力： $F_f = \mu f_N$

动量和冲量

\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}dt = m\mathbf{v}_2 - m\mathbf{v}_1

动量守恒定律

质点系的动量定理

作用在系统上合外力的冲量等于这段时间内质点系动量的增量：

\mathbf{I} = \int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}_{\text{ex}}dt = \mathbf{p} - \mathbf{p}_0

功和能

dW = \mathbf{F}d\mathbf{r}, \quad E_k = \frac{1}{2}mv^2

质点的动能定理

W = E_{k_2} - E_{k_1}

质点系的动能定理

W_{\text{ex}} + W_{\text{in}} = E_{k_2} - E_{k_1}

角动量

质点的角动量

力矩

\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}

质点的角动量

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

质点的角动量定理

\int_{t_1}^{t_2}\mathbf{M}dt = \mathbf{L}_2 - \mathbf{L}_1

这说明，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。

质点的角动量守恒定律

如果质点所受的外力矩为零，则质点的角动量保持不变。

刚体定轴转动的角动量

J = \int r^2dm, \quad L = J\omega

刚体定轴转动的角动量定理

M = \frac{dL}{dt}

这说明刚体定轴转动时，力矩等于角动量的变化率。

刚体定轴转动的角动量守恒定律

L = J\omega = C

这说明，若物体受到的合外力矩为零，则角动量保持不变。

光学

干涉

光源

普通光源的发光是原子/分子的自发辐射，前后两次辐射彼此独立。
同一时刻 各个分子/原子发出的光、同一分子/原子 在不同时刻发出的光振动方向、频率、相位 各不相同。

相干光

相干条件

频率相同
振动方向相同
在相遇点上相位保持恒定

获得相干光

分波阵面法：双缝干涉
分振幅法：薄膜干涉

半波损失

当光从折射率较小的介质（光疏介质）射向折射率较大的介质（光密介质）时，在掠射（入射角 $\approx 0$ 或 $\pi/2$ ）的情况下，反射光的相位较之入射光的相位突变了 $\pi$ ，导致反射光加了半个波长的波程差。

这种情况称为 半波损失。

干涉现象

光程、光程差、相位差

光程差 $\Delta$ 与相位差 $\Delta \varphi$ 的关系：

\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta

明暗条纹

\Delta = \begin{cases} \pm k\lambda, & k = 0, 1, 2, \dots \quad \text{明纹中心}, \\ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}, & k = 0, 1, 2, \dots \quad \text{暗纹中心}. \end{cases}

双缝干涉

\Delta = \frac{d}{D}x

其中 $d$ 为双缝之间的距离， $D$ 为双缝与光屏的距离， $x$ 为相遇位置与光屏中心的距离。

薄膜干涉

\Delta = 2nd~(+\frac{\lambda}{2})

其中 $n$ 为薄膜的折射率， $d$ 为薄膜厚度，是否要加上 $\frac{\lambda}{2}$ 取决于是否存在半波损失。

劈尖： $\Delta d = \frac{\lambda}{2n}, \quad \Delta b = \frac{\lambda}{2n \sin \theta} \approx \frac{\lambda}{2n \theta}$

增反膜、增透膜

增反膜： 反射光干涉加强
增透膜： 反射光干涉减弱

衍射

夫琅禾费单缝衍射

明暗条纹：
$b\sin \theta = \begin{cases} \pm k\lambda, & \text{暗纹中心}, \\ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}, & \text{明纹中心}, \end{cases} \quad k = 1, 2, \dots$ $-\lambda < b\sin \theta < \lambda$
其中 $b$ 为单缝的宽度， $\theta$ 为衍射角。
中央明纹宽度（ $-1, +1$ 级次暗纹中心间距）：
$\Delta x_0 = \frac{2\lambda f}{b}$
其他明纹宽度：
$\Delta x = \frac{\lambda f}{b}$
屏上某点到屏中心距离：
$x = f\tan \theta \approx f\sin \theta$

光栅衍射

光栅衍射是 单缝衍射和多缝干涉的总效果，特点是明纹 细而亮，相邻明纹间有很宽的暗区。

光栅方程

(b + b')\sin \theta = \pm k\lambda, \quad k = 0, 1, 2, \dots

其中 $b$ 为缝宽度， $b'$ 为缝间距， $\theta$ 为衍射角。

缺级条件

衍射光之间发生干涉，部分明纹会因为干涉减弱而缺级：

k = \frac{b+b'}{b}k', \quad k' = 1, 2, \dots

其中 $k$ 为缺失条纹的级数。

偏振

偏振光

自然光： 每个方向均具有光矢量的光。
部分偏振光： 多个方向具有光矢量的偏振光。
完全偏振光： 仅有一个方向存在光矢量的偏振光。

自然光一般来自阳光、灯光等，偏振光一般有反射光（部分偏振）、激光（高度线偏振）、液晶显示屏光、经过偏振片的光等。

马吕斯定律

I = I_0\cos^2\theta

其中 $I_0$ 为初始光强。

当光源为自然光时： $I = \frac{1}{2}I_0$

布儒斯特定律

当

\tan i_B = \frac{n_2}{n_1}

时，反射光为完全偏振光，且偏振化方向与入射面垂直。

$i_B$ 称为布儒斯特角。

电与磁

静电场

库仑定律

\mathbf{F} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{r^2}\mathbf{e_r}

其中 $\mathbf{F}$ 表示库仑力向量， $\mathbf{e_r}$ 为方向向量。

电场强度

\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q_0}

其中 $q_0$ 为试探电荷的带电量。

电场强度通量与高斯定理

电场强度通量

\Phi_e = \int_S \mathbf{E} \cdot dS

对于两块互相平行的“无限大”的均匀带电平板，
- 两板上自由电荷面密度分别为 $+\sigma_0, -\sigma_0$ ；
- 当两板间为真空时： $E_0 = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0}$

高斯定理

\oint \epsilon_0 \mathbf{E} \cdot dS = \sum_i q_i^{(in)}

高斯定理说明：
- 通过高斯面的电场强度通量乘以真空电容率，等于高斯面内所有电荷之和。
- 高斯面要求为封闭曲面。

电势

定义式

V_A = \int_A^{\text{零势能点}} \mathbf{E} \, dl

点电荷的电势

V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r},~~~~V_\infty = 0

电势能

W = q \int_A^B \mathbf{E} \, dl = -(E_{p_2} - E_{p_1})

环路定理

\oint_l \mathbf{E} \, dl = 0

说明：静电场是保守力场。

静电平衡

导体内部场强处处为零；
导体是一个等势体；
导体表面的场强与表面垂直。

注意：导体内部场强为零，但电荷不一定为零。

电介质

E = E_0 - E' = \frac{1}{\epsilon_r} E_0

其中 $\epsilon_r~(\epsilon_r > 1)$ 为 相对电容率；
$\epsilon_0 \epsilon_r$ 为电介质的电容率。

对于极化电荷面密度：

E_0 = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0},~E' = \frac{\sigma'}{\epsilon_0} \\ \therefore \sigma' = \left(1 - \frac{1}{\epsilon_r}\right)\sigma_0

存在电介质时的高斯定理

\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E} = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf{E}, \quad \oint_S \mathbf{D} \cdot dS = \sum_i q_i^{(in)}

恒定磁场

磁感应强度

B = \frac{F_\perp}{qv}

$q$ 表示试探电荷的带电量；
$F_\perp$ 表示试探电荷垂直磁场方向运动时受到的力。

磁通量

\Phi = \int_S B S \cos\theta

$\theta$ 为磁感应强度与平面法线的夹角。

磁场中的高斯定理

\oint_S \mathbf{B} \, dS = 0

说明：磁场是无源场，磁感线是无头无尾的闭合曲线。

毕奥-萨伐尔定律

对于电流元 $Id\mathbf{l}$ 在任一点 $P$ 所激发的磁感应强度 $dB$ ：

dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{e_r}}{r^2}

$\mu_0$ 为真空磁导率；
$\mathbf{r}$ 为矢量，方向为电流元位置指向点 $P$ 位置。

$dB$ 的方向由右手定则确定。

常用公式

有限长直导线电流：
$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a} (\cos\theta_1 - \cos\theta_2)$
无限长直导线电流：
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a}$
半无限长直导线电流：
$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}$
- 直导线延长线上的磁感应强度为 $0$ 。
圆形电流：
- 轴线上 $P$ 点： $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
- 圆心处： $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
- 一段圆弧电流在圆心处的磁感应强度： $B = \frac{\mu_0 I}{2R} \cdot \frac{\theta}{2\pi}$

安培环路定理

\frac{1}{\mu_0} \oint_L \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \sum_i I_i

说明：磁感应强度的环量除以真空磁导率等于其包围的电流总和。

磁介质

磁介质中的安培环路定理

\oint_L \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \sum_i I_i, \quad \mathbf{B} = \mu_0 \mu_r \mathbf{H} = \mu \mathbf{H}

$\mu_r$ 为 相对磁导率；
$\mu$ 为磁介质的磁导率；
$\mathbf{H}$ 为 磁场强度。

电磁场

电动势

\mathscr{E} = \int \mathbf{E_k} \cdot d\mathbf{l}

$\mathbf{E_k}$ 为非静电场强。

楞次定律

\mathscr{E} = -\frac{N d\Phi}{dt}

负号表示方向；
$N$ 为匝数。

热力学

气体动理论

理想气体状态方程

\begin{align} pV &= \frac{m}{M}RT, \\ p &= nkT, \quad k = \frac{N}{V} \end{align}

理想气体压强

\begin{align} p &= \frac{1}{3}nm_0\bar{v^2} = \frac{2}{3}n\bar{\epsilon_k}, \\ \bar{\epsilon_k} &= \frac{1}{2}m_0v^2 = \frac{3}{2}kT \end{align}

$n$ 为分子数量， $m_0$ 为单个分子质量， $\bar{\epsilon_k}$ 为分子平均平动动能。

能量均分定理理想气体内能

自由度

单原子分子自由度为 $3$ ，双原子分子为 $5$ ，多原子分子为 $6$ 。

\begin{align} \text{对于自由度为 } i \text{ 的分子：} \\ \bar{\epsilon} &= \frac{i}{2}kT, \\ \text{理想气体的内能：} \quad E &= \frac{m}{M}\cdot\frac{i}{2}RT \end{align}

注意： 能量均分定理是对大量分子的 统计平均结果，即在 某一瞬时，每个自由度上的能量和总能量可能与能量均分定理所确定的平均值 有很大的差别。

气体分子热运动的速率分布

\begin{align} \text{速率分布函数的定义：} \quad f(v) &= \frac{dN}{Ndv}, \\ \int_0^\infty f(v)dv &= 1, \\ \text{速率在 } v_1 \sim v_2 \text{ 区间内的分子平均速率：} \quad \bar{v} &= \frac{\int_{v_1}^{v_2}vf(v)dv}{\int_{v_1}^{v_2}f(v)dv}, \\ \text{最大概然速率：} \quad v_p &= \sqrt{\frac{2RT}{M}}, \\ \text{平均速率：} \quad \bar{v} &= \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}, \\ \text{方均根速率：} \quad \sqrt{\bar{v^2}} &= \sqrt{\frac{3RT}{M}} \end{align}

热力学基础

摩尔热容

\begin{align} C_{V,m} &= \frac{i}{2}R, \\ C_{p,m} &= \frac{i+2}{2}R, \\ \gamma &= \frac{C_{p,m}}{C_{V,m}} = \frac{i+2}{i} \end{align}

热力学第一定律

\begin{align} Q &= \Delta E + W, \\ \Delta E &= \frac{m}{M}\frac{i}{2}R\Delta T, \\ Q &= \frac{m}{M}C_m\Delta T \end{align}

等压升温吸热比等体多，因为等压升温时体积膨胀，对外做功，需要额外的热量。

等体过程

Q = \Delta E = \frac{m}{M}\frac{i}{2}R\Delta T

等温过程

Q = \Delta E + W = W = \int p\,dv = \frac{m}{M}RT\ln\frac{v_2}{v_1} = \frac{m}{M}RT\ln\frac{p_1}{p_2}

绝热过程

\begin{align} pV^\gamma &= C, \quad \gamma = \frac{i+2}{i}, \\ Q &= 0, \\ W &= \frac{i}{2}(p_1V_1 - p_2V_2) \end{align}

卡诺循环热机效率

\begin{align} \eta &= \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}, \\ \eta_{\text{卡}} &= 1 - \frac{T_2}{T_1} \end{align}

$Q_1$ 是从高温热源吸收的能量， $Q_2$ 是向低温热源放出的能量。

$T_1$ 是高温热源的温度， $T_2$ 是低温热源的温度。

量子物理基础

黑体辐射与普朗克能量子假设

黑体与黑体辐射

单色辐出度： $M_\lambda(T)$
辐出度： $\begin{align} &\text{斯特藩-玻尔兹曼定律：}~M(T) = \int_0^\infty M_\lambda(T)d\lambda = \sigma T^4, \\ &\text{维恩位移定律：}~\lambda_mT = b \end{align}$

经典公式及其困难

维恩公式：长波部分相差较大
瑞利-金斯公式：短波部分荒谬，“紫外灾难”

普朗克能量子假设

\epsilon = h\nu \\ M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/\lambda kT}-1}

光电效应与光子理论

光电效应

饱和电流
- 加速电压增加，光电流逐渐达到饱和值
- 入射光强度越大，饱和电流越大
  $\iff$ 单位时间内逸出的光电子数目与入射光强度成正比
最大初动能与遏止电压
$\frac{1}{2}mv_m^2 = eU_0 \\ v_m~\text{为最大初速度，}~U_0~\text{为遏止电压}$
截止频率（红限）
- 入射光频率低于 $\nu_0$ 时，无论入射光强度如何，均无光电子逸出
- 不同金属 $\nu_0$ 不同
弛豫时间
- 光照开始到光电子逸出，弛豫时间不超过 $10^{-9}~\text{s}$

波动理论的困难

初动能与光强无关
截止频率现象
逸出能量无需积累

光子理论

h\nu = \frac{1}{2}mv^2 + W \\ W = h\nu_0 \\ eU_0 = h\nu - h\nu_0

光的波粒二象性

E = mc^2 = h\nu \\ p = mc = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}

康普顿效应

现象

散射 $X$ 射线中除与入射波长相同的射线外，还有波长大于原波长的射线。

光子理论的解释

\Delta \lambda = 2\lambda_c \sin^2\frac{\theta}{2}, \\ \lambda_c = \frac{h}{mc} = 0.0024~\text{nm}

当光子与束缚较弱的电子碰撞，能量传递使光子波长变长。
光子与紧束缚电子或整个原子碰撞时，波长基本不变。

德布罗意波

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

一切微观粒子都具有波粒二象性。

玻尔氢原子理论

里德伯公式

\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2}\right), \\ k = 1, 2, 3, \dots, \quad n = k+1, k+2, \dots

$R$ 为里德伯常量。
由此可得氢原子光谱的线系。

玻尔氢原子理论

假设

定态假设：
原子在某些能量状态下电子绕核做圆周运动而不辐射电磁波。
量子化条件：详见“角动量量子化”。
频率条件：详见“跃迁条件”。

跃迁条件

h\nu = E_n - E_m

角动量量子化

L = \frac{nh}{2\pi} = n\hbar, \quad n~\text{称为主量子数}

能级公式与轨道半径公式

\begin{align} &\text{能级：} \quad E_n = \frac{E_1}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots \\ &\text{轨道半径：} \quad r_n = n^2r_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots \\ &\text{基态能量：} \quad E_1 = -13.6~\text{eV} \\ &\text{玻尔半径：} \quad r_1 = 0.053~\text{nm} \end{align}

不确定性关系

\Delta x \Delta p = \Delta x \cdot m \Delta v \geq \frac{\hbar}{2}

例如电子通过狭缝时，无法确定其从缝中哪一点通过。

一些常量

$h = 6.63\times 10^{-34}~\text{J}\cdot\text{s}$
$m_e = 9.11 \times 10^{-31}~\text{kg}$
$e = 1.6\times 10^{-19}~\text{C}$
$E_1 = -13.6~\text{eV}$
$a_0 = 5.29 \times 10^{-11}~\text{m}$

大学物理（二）

质点力学

质点运动的描述

四个物理量

位矢

位移

速度

加速度

常见问题

曲线运动

角速度

角加速度

线量和角量的关系

牛顿定律

第一定律

第二定律

第三定律

常见的力

动量和冲量

质点系的动量定理

功和能

质点的动能定理

质点系的动能定理

角动量

质点的角动量

力矩

质点的角动量

质点的角动量定理

质点的角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量

刚体定轴转动的角动量

刚体定轴转动的角动量定理

刚体定轴转动的角动量守恒定律

光学

干涉

光源

相干光

相干条件

获得相干光

半波损失

干涉现象

光程、光程差、相位差

明暗条纹

双缝干涉

薄膜干涉

增反膜、增透膜

衍射

夫琅禾费单缝衍射

光栅衍射

光栅方程

缺级条件

偏振

偏振光

马吕斯定律

布儒斯特定律

电与磁

静电场

库仑定律

电场强度

电场强度通量与高斯定理

电场强度通量

高斯定理

电势

定义式

点电荷的电势

电势能

环路定理

静电平衡

电介质

存在电介质时的高斯定理

恒定磁场

磁感应强度

磁通量

磁场中的高斯定理

毕奥-萨伐尔定律

常用公式

安培环路定理

磁介质

分类

磁介质中的安培环路定理